\section{Introducción teórica}
\noindent Para realizar este trabajo utilizamos los métodos para resolver cero de funciones vistos en clase. La idea detrás de está resolución fue que el punto de impacto de un objeto que cae y choca contra el suelo es efectivamente la posición 0 (si tomamos una altura positiva y el piso como altura 0,). Para calcular este momento se utiliza la función: 
\begin{center}
$y(t) = h + v_0t - \frac{g}{2} t^2$
\end{center}
Esta ecuación modela el caso en que la caída se realiza sin rozamiento. En este caso se puede obtener una solución analíticamente, lo que puede ocurrir es que la computadora no pueda representarla. Entonces con los métodos númericos podríamos obtener una aproximación, sin embargo la computadora puede aproximar bien la solución utilizando los algoritmos que tiene programados por defecto para estos casos.
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En este caso no se apreciaría la implementación de los métodos. Sin embargo, este problema de caída libre presenta otro caso en el que si es necesario la utilización de algún método que nos aproxime a la solución. Este caso es aquel en el que la caída libre se ve afectada por el rozamiento del aire. Ahora la función para calcular el momento en el que el objeto toca el piso se convierte en:
\begin{center}
$y(t)  = h + \frac{v_0}{\alpha} + \frac{g}{\alpha^2} - \frac{g}{\alpha}t - (\frac{v_0}{\alpha} + \frac{g}{\alpha^2}e^{-\alpha t})$
\end{center}
Como podemos notar no se puede calcular exactamente cuanto vale $t$, por el hecho de que esta multiplicando en un termino, y es parte de un exponente en otro termino, todo esto hace imposible despejarlo analíticamente. En este caso, tiene sentido utilizar algoritmos que aproximen a una buena solución. En este trabajo, los métodos que utilizamos para resolver el problema fueron los de Bisección y Newton.
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Si bien ambos métodos tienen un mismo objetivo (aproximar el cero o raíz de una función) tienen marcadas diferencias en cuanto a requerimientos y rendimiento. 
Tenemos la función $f$ que es la función a la cual le queremos calcular la raíz. Para utilizar este método es necesario que $f$ sea continua. Tomamos  dos valores $a$ y $b$ del dominio de la función $f$ y verificamos que $f(a)*f(b) \le 0$. Una vez que esto vale, el método consiste en tomar el $m = \frac{a+b}{2}$ (es decir el valor medio entre $a$ y $b$) y comparar el signo de $f(m)$ con el de $f(a)$ y $f(b)$, buscando aquel que tenga signo distinto, para, de esta manera, poder reiterar el método pero reemplazando uno de los dos límites $a$ o $b$ por $m$. Es decir, si $f(a)$ y $f(m)$ son ambos positivos, mi nuevo intervalo será de $m$ y $b$, dado que como $f(a)$ y $f(b)$ tenían distinto signo (por hipótesis) lo mismo pasa con $f(m)$ y $f(b)$, por lo que el nuevo intervalo cumple las hipótesis de Bisección (procedemos analogamente si $f(m)$ y $f(b)$ son los que tienen el mismo signo). Las ventajas de este algoritmo es que no tiene muchas restricciones (basta que la función sea continua y tomar un intervalo con un cero en él), sin embargo se sabe que tiene una convergencia lineal.
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Newton, por otro lado, necesita que $f(p)=0$ (donde $p$ es la raíz), que $f'(p) \neq 0$ y que $\exists$ $\delta > 0$ tal que $x_0$ $\in$ $[p-\delta, p+\delta]$, o en otras palabras, que la derivada no sea 0 y que se tome un $x_0$ ``cerca'' de la raíz. Si estas hipótesis se cumplen, el método consiste en tomar la sucesión definida por: $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$. Si esta sucesión converge, entonces la sucesión converge a la raíz con una convergencia cuadrática. Sin embargo es claro que la desventaja de este método es que $x_0$ tiene que estar ``cerca'' y eso no es muy específico. Es decir no sabemos, a priori, qué $x_0$ tomar, por lo que en un principio podríamos tomar algunos para los que la sucesión no converga.
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Sin embargo se pueden usar métodos combinados, como en este caso: acercarnos al cero utilizando Bisección y utilizar el resultado que esté nos devuelve como $x_0$ para luego utilizar Newton y así conseguir una convergencia cuadrática. De esta manera se estarían aprovechando las ventajas de ambos: las pocas restricciones de Bisección y la ``rapidez'' de Newton.
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En las siguientes páginas veremos que criterios de parada probamos para poder lograr la mejor eficiencia para resolver este problema. También realizaremos varios analisís empíricos para comparar ambos métodos (Bisección y Newton) y poder ver gráficamente el comportamiento y las diferencias entre ambos.
